33、有理数运算的实际应用
这篇文章详细讲解了有理数运算在实际问题中的应用，包括海拔温度计算、产品质量检测、商场购物优惠和车辆行驶问题。通过具体例题解析，展示了有理数运算顺序（乘方→乘除→加减）和解题技巧，强调审题、列式、运算和检验的重要性。文章包含4个典型例题及其分步解答，如计算山顶温度(-6℃)、抽样总质量(2001克)、购物优惠方案(279.2元或288元)和出租车油费(81元)，帮助读者掌握有理数在现实场景中的运用方法。
有理数运算在实际问题中的应用
有理数运算顺序回顾
在进行有理数运算时，需要严格遵循以下运算顺序：
- 先进行乘方运算
- 然后进行乘除运算
- 最后进行加减运算
- 同级运算从左到右依次进行
- 有括号时，先算括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次进行
例题解析
例题1：海拔与温度计算
题目：已知某地海拔350米处的气温为6℃，海拔每升高100米，气温约下降0.6℃。求海拔2350米处的山顶温度。
解题步骤：
- 计算高度差：2350米 - 350米 = 2000米
- 计算温度变化量：(2000 ÷ 100) × 0.6 = 20 × 0.6 = 12℃
- 计算山顶温度：6℃ - 12℃ = -6℃
答案：山顶温度为-6℃。
例题2：产品质量抽样检测
题目：某产品每袋标准质量为200克，现抽取10袋样品进行检测，检测结果如下表：
| 差值(克) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 袋数 | 3 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
求这10袋样品的总质量。
解题步骤：
- 计算标准质量总和：200克 × 10 = 2000克
- 计算差值总和：
- (-2)×3 + (-1)×1 + 0×2 + 1×1 + 2×2 + 3×1
- = -6 + (-1) + 0 + 1 + 4 + 3
- = 1克
- 计算总质量：2000克 + 1克 = 2001克
答案：抽样检测的总质量为2001克。
例题3：商场购物优惠问题
题目：某商场推出以下优惠活动：
- 一次性购物不超过100元：不优惠
- 超过100元但不超过300元：9折优惠
- 超过300元：8折优惠
小红两次购物分别付款99元和225元，如果她一次性购买这两次相同的商品，应付款多少元？
解题分析：
第一次付款99元的情况分析：
- 情况一：不享受优惠，商品实际售价为99元
- 情况二：享受9折优惠，商品实际售价为99 ÷ 0.9 = 110元
第二次付款225元的情况分析：
- 情况一：享受9折优惠，商品实际售价为225 ÷ 0.9 = 250元
- 情况二：享受8折优惠（不可能，因为281.25元未超过300元）
组合情况：
- 组合一：99元（不优惠） + 250元 = 349元
- 应付款：349 × 0.8 = 279.2元
- 组合二：110元 + 250元 = 360元
- 应付款：360 × 0.8 = 288元
答案：应付款279.2元或288元。
例题4：车辆行驶问题
题目：某辆出租车一天中的行驶记录如下（向东为正，向西为负）：
| 序号 | 路程(km) |
|---|---|
| 1 | +5 |
| 2 | -3 |
| 3 | +10 |
| 4 | -8 |
| 5 | -6 |
| 6 | +12 |
| 7 | -10 |
问题1：该车最后是否回到了车站？
解答：
计算总路程：
+5 + (-3) + (+10) + (-8) + (-6) + (+12) + (-10) = 0km
因为最终距离为0km，所以回到了车站。
问题2：该车离开出发点最远是多少千米？
解答：
计算各阶段距离：
- +5km
- +5-3=+2km
- +2+10=+12km
- +12-8=+4km
- +4-6=-2km
- -2+12=+10km
- +10-10=0km
最远距离为12km。
问题3：若每千米耗油0.2升，油价7.5元/升，求总油费。
解答：
计算总行驶距离：
|+5| + |-3| + |+10| + |-8| + |-6| + |+12| + |-10| = 54km
计算油费：
54 × 0.2 × 7.5 = 81元
答案：
- 回到了车站
- 最远距离12km
- 总油费81元
总结
在运用有理数运算解决实际问题时，需要注意以下几点：
- 仔细审题，理解题意
- 根据问题正确列出算式
- 严格遵循有理数的运算顺序和法则
- 注意单位的统一和符号的意义
- 对结果进行合理性检验
通过以上例题的练习，相信大家对有理数在实际问题中的应用有了更深入的理解。在实际生活中，有理数运算有着广泛的应用场景，掌握好这些运算技巧对解决实际问题很有帮助。